Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的點，過點D作DE⊥AB交BC于點F，交AC的延長線于點E，連接CD，∠DCA=∠DAC，則下列結論：①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等邊三角形；④若∠E=30°，則DE=EF+CF．正確的有______.

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易證得∠DCA=∠DAC，繼而可得①∠DCB=∠B正確；由①可證得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正確；易得③△ADC是等腰三角形，但不能證得△ADC是等邊三角形；由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，則可證得DF=CF，繼而證得DE=EF+CF．

∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正確；
∴CD=BD，
∵AD=BD，
∴CD=AB；故②正確；
∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
但不能判定△ADC是等邊三角形；故③錯誤；

∵若∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ADC=30°，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正確．
故答案為：①②④．