Question

操作：小明準備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現選用一些廢棄的紙片進行如下設計：

說明：

方案一：圖形中的圓過點A、B、C；

方案二：直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合，斜邊經過兩個正方形的頂點

紙片利用率=×100%

發現：

（1）方案一中的點A、B恰好為該圓一直徑的兩個端點．你認為小明的這個發現是否正確，請說明理由．

（2）小明通過計算，發現方案一中紙片的利用率僅約為38.2%．請幫忙計算方案二的利用率，并寫出求解過程．

探究：

（3）小明感覺上面兩個方案的利用率均偏低，又進行了新的設計（方案三），請直接寫出方案三的利用率．

說明：方案三中的每條邊均過其中兩個正方形的頂點．

Answer 1

【考點】相似三角形的判定與性質；幾何體的展開圖；勾股定理；圓周角定理．

【專題】幾何綜合題；壓軸題；數形結合．

【分析】（1）連接AC、BC、AB，由AC=BC=，AB=，根據勾股定理的逆定理，即可求得∠BAC=90°，又由90°的圓周角所對的弦是直徑，則可證得AB為該圓的直徑；

（2）首先證得△ADE≌△EHF與△ADE∽△ACB，即可求得AD與BC的長，求得△ABC的面積，即可求得該方案紙片利用率；

（3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案．

【解答】解：發現：（1）小明的這個發現正確．

理由：

解法一：如圖一：連接AC、BC、AB，

∵AC=BC=，AB=2

∴AC²+BC²=AB²，

∴∠BCA=90°，

∴AB為該圓的直徑．

解法二：如圖二：連接AC、BC、AB．

易證△AMC≌△BNC，

∴∠ACM=∠CBN．

又∵∠BCN+∠CBN=90°，

∴∠BCN+∠ACM=90°，

即∠BCA=90°，

∴AB為該圓的直徑．

（2）如圖三：∵DE=FH，DE∥FH，

∴∠AED=∠EFH，

∵∠ADE=∠EHF=90°，

∴△ADE≌△EHF（ASA），

∴AD=EH=1．

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴=，

∴=，

∴BC=8，

∴S_△ACB=16．

∴該方案紙片利用率=×100%=×100%=37.5%；

探究：（3）過點C作CD⊥EF于D，過點G作GH∥AC，交BC于點H，

設AP=a，

∵PQ∥EK，

易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，

∴AP：AQ=QK：EK=1：2，

∴AQ=2a，PQ=a，

∴EQ=5a，

∵EC：ED=QE：QK，

∴EC=a，

則PG=5a+a=a，GL=a，

∴GH=a，

∵，

解得：GB=a，

∴AB=a，AC=a，

∴S_△ABC=×AB×AC=a²，

S_{展開圖面積}=6×5a²=30a²，

∴該方案紙片利用率=×100%=×100%=49.86%．

【點評】此題考查了圓周角的性質，相似三角形與全等三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題時要注意數形結合思想的應用．