Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，CD平分∠ACB交于圓O，過(guò)點(diǎn)D作PQ∥AB分別交CA、CB延長(zhǎng)線于P、Q，連接BD．

(1)求證：PQ是圓O的切線；

(2)連接AD，求證：

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和圓的基本性質(zhì)可得，然后根據(jù)垂徑定理的推論可得OD垂直平分AB，從而證出OD⊥PQ，然后根據(jù)切線的判定定理即可證出結(jié)論；

（2）連接AD、BD，由（1）的結(jié)論可得AD=BD，∠BDQ=∠ACD，然后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠DBQ=∠CAD，從而證出△DBQ∽△CAD，列出比例式即可證出結(jié)論．

證明：（1）連接OD

∵CD平分∠ACB交于圓O，

∴∠ACD=∠BCD

∴

∴OD垂直平分AB

∵PQ∥AB

∴OD⊥PQ

∴PQ是圓O的切線；

（2）連接AD、BD

由（1）知，PQ是圓O的切線

∴AD=BD，∠BDQ=∠ACD

∵四邊形ADBC為圓的內(nèi)接四邊形

∴∠DBQ=∠CAD

∴△DBQ∽△CAD

∴

∴