Question

【題目】如果拋物線的頂點在拋物線上，拋物線的頂點也在拋物線上時，那么我們稱拋物線與“互為關聯”的拋物線．如圖1，已知拋物線：與：是“互為關聯”的拋物線，點分別是拋物線，的頂點，拋物線經過點．

（1）直接寫出的坐標和拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點，使得是直角三角形？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）如圖2，點在拋物線上，點分別是拋物線，上的動點，且點的橫坐標相同，記面積為（當點與點重合時），的面積為（當點與點重合時，），令，觀察圖象，當時，寫出的取值范圍，并求出在此范圍內的最大值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）或；理由見解析；（3）-2≤x≤2，當時，的最大值為16．

【解析】

（1）由拋物線：可得，將，代入，求得，；

（2）易得直線的解析式：，①若為直角頂點，，；②若為直角頂點，，；③若為直角頂點，設不符合題意；

（3）由，得，設，，且，易求直線的解析式：，過作軸的平行線交于，，設交于點，易知，，所以，當時，的最大值為.

（1）由拋物線：可得，

將代入

得，

解得，

∴，

∴；

（2）易得直線的解析式：，

①若為直角頂點，，

∴，

直線解析式為

聯立，

解得或，

∴；

②若為直角頂點，，

同理得解析式：，

聯立，

解得或，

∴；

③若為直角頂點，設

由得，

即，

或（無解）

解得或（不符合題意舍去），

∴點或；

（3）∵，

∴，

設，，且，

易求直線的解析式：，

過作軸的平行線交于，

則，

設交于點，易知，

，

當時，的最大值為16．