Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B、C的坐標分別為（﹣1，0），（5，0），（0，2）．若點P從A點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向B點移動，連接PC并延長到點E，使CE=PC，將線段PE繞點P順時針旋轉90°得到線段PF，連接FB．若點P在移動的過程中，使△PBF成為直角三角形，則點F的坐標是________．

Answer 1

【答案】（5，2），（，）

【解析】

試題當P位于線段OA上時，顯然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角頂點，可分兩種情況進行討論：

①F為直角頂點，過F作FD⊥x軸于D，BP=6﹣t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t﹣1，由勾股定理易求得CP=t2﹣2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，而PB的另一個表達式為：PB=6﹣t，聯立兩式可得t2﹣2t+5=6﹣t，即t=；

②B為直角頂點，那么此時的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此時t=2．

解：能；

①若F為直角頂點，過F作FD⊥x軸于D，則BP=6﹣t，DP=2OC=4，

在Rt△OCP中，OP=t﹣1，

由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5，那

么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；

在Rt△PFB中，FD⊥PB，

由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，

而PB的另一個表達式為：PB=6﹣t，

聯立兩式可得t2﹣2t+5=6﹣t，即t=，

P點坐標為（，0），

則F點坐標為：（，）；

②B為直角頂點，那么此時的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，

那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此時t=2，

P點坐標為（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，

則F點坐標為（5，2）．

故答案是：（5，2），（，）．