Question

【題目】在平面直角坐標系XOY中，點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，若P、Q為某等邊三角形的兩個頂點，且有一邊與x軸平行（含重合），則稱P、Q互為“向善點”．如圖1為點P、Q互為“向善點”的示意圖．已知點A的坐標為（1，），點B的坐標為（m，0）

（1）在點M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，3）中，與A點互為“向善點”的是_____；

（2）若A、B互為“向善點”，求直線AB的解析式；

（3）⊙B的半徑為，若⊙B上有三個點與點A互為“向善點”，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）S，T．（2）直線AB的解析式為y＝x或y＝﹣x+2；（3）當﹣2＜m＜0或2＜m＜4時，⊙B上有三個點與點A互為“向善點”．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質結合“向善點”的定義，可得出點S，T與A點互為“向善點”；

（2）根據等邊三角形的性質結合“向善點”的定義，可得出關于m的分式方程，解之經檢驗后可得出點B的坐標，根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出直線AB的解析式；

（3）分⊙B與直線y=x相切及⊙B與直線y=-x+2相切兩種情況求出m的值，再利用數形結合即可得出結論．

（1）∵，，

∴點S，T與A點互為“向善點”．

故答案為S，T．

（2）根據題意得：，

解得：m1＝0，m2＝2，

經檢驗，m1＝0，m2＝2均為所列分式方程的解，且符合題意，

∴點B的坐標為（0，0）或（2，0）．

設直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將A（1，），B（0，0）或（2，0）代入y＝kx+b，得：

或，

解得：或，

∴直線AB的解析式為y＝x或y＝﹣x+2．

（3）當⊙B與直線y＝x相切時，過點B作BE⊥直線y＝x于點E，如圖2所示．

∵∠BOE＝60°，

∴sin60°＝，

∴OB＝2，

∴m＝﹣2或m＝2；

當⊙B與直線y＝﹣x+2相切時，過點B作BF⊥直線y＝﹣x+2于點F，如圖3所示．

同理，可求出m＝0或m＝4．

綜上所述：當﹣2＜m＜0或2＜m＜4時，⊙B上有三個點與點A互為“向善點”．