Question

【題目】如圖1，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），拋物線與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E（0，3）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)F（0，﹣3），在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)G，使得EG+FG最小，如果存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖2，連接AB，若點(diǎn)P是線段OE上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作線段AB的垂線，分別與線段AB、拋物線相交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M、N都在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)），當(dāng)MN最大時(shí)，求△PON的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）；（3）2．

【解析】

(1)根據(jù)頂點(diǎn)式可求得拋物線的表達(dá)式；

(2)根據(jù)軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題，作E關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F交對(duì)稱軸于G，此時(shí)EG+FG的值最小，先求E′F的解析式，它與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)G；

(3)如圖2，先利用待定系數(shù)法求AB的解析式，過(guò)N作NH⊥x軸于H，交AB于Q，設(shè)N(m，﹣m2+2m+3)，則Q(m，﹣2m+6)(1＜m＜3)，表示NQ＝﹣m2+4m﹣3，證明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表達(dá)式，根據(jù)配方法可得當(dāng)m=2時(shí)，MN有最大值，證明△NGP∽△ADB，同理得PG的長(zhǎng)，從而得OP的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論，并將m=2代入計(jì)算即可．

(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a(x﹣1)2+4，

把(0，3)代入得：3＝a(0﹣1)2+4，

a＝﹣1，

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣(x﹣1)2+4＝﹣x2+2x+3；

(2)存在，如圖1，作E關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接E'F交對(duì)稱軸于G，此時(shí)EG+FG的值最小．

∵E(0，3)，∴E'(2，3)，

設(shè)EF的解析式為y=k′x+b′，

把F(0，﹣3)，E'(2，3)分別代入，得，解得，

所以E'F的解析式為：y＝3x﹣3，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；

(3)如圖2．

設(shè)AB的解析式為y=k″x+b″，

把A(1，4)，B(3，0)分別代入，得，解得，

所以AB的解析式為：y＝﹣2x+6，

過(guò)N作NH⊥x軸于H，交AB于Q，

設(shè)N(m，﹣m2+2m+3)，則Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，

∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，

∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，

∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，

∴，∴，

∴MN(m﹣2)2

0，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，MN有最大值；

過(guò)N作NG⊥y軸于G，

∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，

∴，∴PGNGm，

∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3m＝﹣m2m+3，

∴S△PONOPGN(﹣m2m+3)m，

當(dāng)m＝2時(shí)，S△PON2(﹣4+3+3)＝2．