Question

【題目】如圖，已知點A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點，與x軸的另一個交點為B，過B作⊙A的切線l．

（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點A及點C（0，9），求此拋物線的解析式；
（2）拋物線與x軸的另一個交點為D，過D作⊙A的切線DE，E為切點，求DE的長；
（3）點F是切線DE上的一個動點，當△BFD與△EAD相似時，求出BF的長 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，拋物線的對稱軸為直線x=6，

∴設拋物線的解析式為y=a （x-6）2+k，

∵拋物線經過點A（3，0）和C（0，9），

∴將A，C兩點坐標代入得： ，解得：a= ，k=-3．

∴拋物線的解析式為y= （x-6）2-3

（2）解：連接AE，

∵DE是⊙A的切線，

∴∠AED=90°，AE=3 ，

∵直線l是拋物線的對稱軸，點A，D是拋物線與x軸的交點，

∴AB=BD=3，

∴AD=6 ， 在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，

∴DE=3

（3）解：利用有兩個角對應相等的兩個三角形相似，
當BF⊥ED時，∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，∴ ，即 ，
∴BF= ．
當FB⊥AD時，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD ，
∴ 即BF= ，
∴當△BFD與△EAD相似時，BF的長為 或 ．

【解析】（1）根據題意可知此拋物線的對稱軸為x=6，設拋物線的解析式為頂點式，再將點A、C兩點坐標代入解析式，建立方程求解，即可求出此函數解析式。
（2） 由DE是⊙A的切線，因此添加輔助線連接AE，得出∠AED=90°，AE=3 ，再根據圓的對稱性及拋物線的對稱性，求出AD的長， 在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE的長。
（3）抓住已知點F是切線DE上的一個動點，要使△BFD與△EAD相似，圖形中隱含公共角∠ADE=∠BDF，因此分兩種情況：當BF⊥ED時；當FB⊥AD時，根據相似三角形的性質，得出對應邊成比例，建立方程，即可求出BF的長。