Question

（1）已知：如圖1，△ABC中，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直線AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q．判斷線段EP、FQ的數量關系，并證明；
（2）如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，分別以兩腰AB、CD為一邊向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，線段AD的垂直平分線交線段AD于點M，交BC于點N，若EP⊥MN于P，FQ⊥MN于Q．（1）中結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

（1）EP、FQ的數量關系是相等．
證明：∠QFA=90°-∠FAQ=∠CAN，
在△FQA與△ANC中，

∠FQA=∠ANC ∠QFA=∠CAN AF=AC

，
∴△FQA≌△ANC（AAS），
∴FQ=AN；
同理△EPA≌△ANB，
∴EP=AN，
∴EP=FQ；

（2）答：（1）中的結論依然成立．理由如下：
過D作PN的平行線分別交FQ、BC于點K、I．
∵∠KFD=90°-∠FDK=∠CDI，
在△FKD與△DIC中，

∠DKF=∠CID ∠KFD=∠CDI DF=DC

∴△FKD≌△DIC（AAS），
∴FK=DI，
∴FQ=FK+KQ=DI+DM=DM+MN；
同理可得，EP=AM+MN，
又∵MN為AD中垂線，
∴AM=MD，
∴EP=AM+MN=DM+MN=FQ．