Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，∠ABC=30°，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒2cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0≤t≤6），連接PQ，以PQ為直徑作⊙O．

（1）當t=1時，求△BPQ的面積；

（2）設⊙O的面積為y，求y與t的函數解析式；

（3）若⊙O與Rt△ABC的一條邊相切，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）當t=1時，S△BPQ=；（2）y= t2﹣18πt+27π；（3）若⊙O與Rt△ABC的一條邊相切，t的值為3或或0或

【解析】

（1）連接DP，根據△BPM∽△BAC，可得PD=t，BQ=（6-t），然后得到S△BPQ=BQPD即可得出結論；

（2）先表示出DP，BD，進而利用勾股定理求出PQ的平方，最后用圓的面積公式即可得出結論；

（3）分當⊙O與BC相切、⊙O與AB相切，⊙O與AC相切時，三種情況分類討論即可得出結論．

（1）如圖1，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=6，

∴AB=12，BC=6，

由運動知，BP=2t，CQ=t，

∴BQ=BC﹣CQ=（6﹣t），

連接DP，

∵PQ是⊙O的直徑，

∴∠PDQ=90°

∵∠C=90°，

∴PD∥AC．

∴△BPD∽△BAC，

∴

∴，

∴DP=t，BD=t，

S△BPQ=BQPD=×（6﹣t）t=﹣t2+3t

∴當t=1時，S△BPQ=﹣+3=；

（2）DQ=|BQ﹣BD|=（6﹣t）﹣t|=2|3﹣t|，PQ2=PD2+DQ2=t2+[2（3﹣t）]2=13t2﹣72t+108，

∴y=π×（）2=t2﹣18πt+27π，

（3）由運動知，BP=2t，CQ=t，

∴BQ=BC﹣CQ=（6﹣t），

當⊙O與BC相切時，PQ⊥BC，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，

∴，

∴t1=3，

當⊙O與AB相切時，PQ⊥AB，

∴△BPQ∽△BCA

∴，

∴，

∴t2=，

當⊙O與AC相切時，如圖2，過點O作OH⊥AC于點H，交PD于點N，

∴OH∥BC，

∵點O是PQ的中點，

∴ON=QD，

由（1）知，BQ=（6﹣t），BD=t，

∴QD=BD﹣BQ=2（t﹣3），DC=BC﹣BD=6﹣t=（6﹣t）

∴OH=ON+NH=QD+DC=×2（t﹣3）+（6﹣t）=3，

∴PQ=2OH=6，

由（2）知，PQ2=13t2﹣72t+108

∴13t2﹣72t+108=36×3

解得t3=0，t4=，

綜上所述，若⊙O與Rt△ABC的一條邊相切，t的值為3或或0或 ．