Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE//AC，且DE:AC=1：2，連接CE、OE，連接AE交OD于點F．

（1）求證：OE=CD；

（2）若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AE=．

【解析】

（1）先證得OCED是平行四邊形，再根據菱形的對角線互相垂直得到∠COD=90°，證得OCED是矩形，即可證明OE=CD；

（2）由菱形的性質和勾股定理求出AC與CE的長，最后根據勾股定理解答即可．.

解：（1）∵在菱形ABCD中，

∴OC=AC，AC⊥BD.

又∵DE:AC=1：2

∴DE=AC

∴DE=OC

∵DE//AC，

∴四邊形OCED是平行四邊形.

∵∠COD=90°

∴平行四邊形OCED是矩形.

∴OE=CD

（2）∵在姜形ABCD中，

∴AB=BC=CD=AD=2，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=2，AO=1.

∵在矩形OCED中，CE=OD=

又∵矩形DOCE中，∠OCE=90°

∴在Rt△ACE中，AE=．