Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2－4ax＋c的圖像交x軸于A、B兩點（其中A點在B點的左側），交y軸于點C（0，3）．

（1）若tan∠ACO＝，求這個二次函數的表達式；

（2）若OC為OA、OB的比例中項．

①設這個二次函數的頂點為P，求△PBC的面積；

②若M為y軸上一點，N為平面內一點，問：是否存在這樣的M、N，使得以M、N、B、C為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x＋x＋3;(2)①；;②見解析.

【解析】

（1）根據OC=3，tan∠ACO= ，可知OA的長度，代入點A、C可求出二次函數的表達式．
（2）①根據OC為OA、OB的比例中項，可推出△ACO∽△BCO，求出B、A的坐標，二次函數的解析式可求，點P的坐標可求，△PBC的面積可求．②分兩種情況討論，再根據相似求出線段長度，再利用平移規律得到點N的坐標．

解：（1）在Rt△AOC中，C（0，3），tan∠ACO=，
∴A（-2，0），
則有
解得
∴二次函數的表達式為y=-x2+x+3．
（2）①∵對稱軸x=-=2，如圖1所示，

由OC為OA、OB的比例中項可得△AOC∽△COB．
設點A的坐標為（m，0），則點B的坐標為（4-m，0），
則OA=-m，OB=4-m，
∴，
解得m1=2+（舍），m2=2-，
∴A（2-，0），B（+2），
則有 ，
解得

∴二次函數的解析式為y=-x2+x+3，
∴P（2，），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則有 ，
解得 ，
∴直線BC的解析式為y=，

過點P作y軸的平行線交BC于點Q，
則Q（2，），
∴PQ=，
∴S=，

②存在，分兩種情況．
情況一：如圖2所示，

此時M于O重合，
∴N（+2，3）．
情況二：如圖3所示，

∵四邊形CBMN為矩形，∴∠CBM=90°，
∴∠CBO=∠OMB，
∵∠COB=∠BOM，
∴△COB∽△BOM，
∴，即

解得OM=，
∴M（0，-），
線段NC可以從BM平移得到，
點B與點C為對應點，點M與點N為對應點，
點B向左移動（2+）個單位，向上移動3個單位得到點C，
∴點M到點N也是同樣得平移規律，
∴N（-2-，--）．
綜上，點N的坐標為（+2，3）或（--2，--）