Question

【題目】如圖，是半圓的直徑，的平分線交半圓于和的延長線交于圓外一點，連接.

(1)求證：是等腰三角形.

(2)若，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)8.

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理由AB是半圓的直徑得∠ADB=∠ACB=90°，加上∠ABC的平分線交半圓于D，根據(jù)等腰三角形的判定得BA=BE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=ED，即可得到CD為直角三角形ACE斜邊上的中線，所以CD=DE=AD，因此可判斷△EDC是等腰三角形；
（2）先利用BA=BE=5得到CE=EB-CB=2，利用勾股定理，在Rt△ACE中計算出AE=，在Rt△ABC中計算出AC=4，利用三角形面積公式得到S△ABE=ACBE=10，再證明△ECD∽△EAB，利用相似的性質(zhì)求出S△ECD=2，然后利用四邊形ABCD的面積=S△ABE-S△ECD進(jìn)行計算．．

解：(1)證明：∵是半圓的直徑，

∴，

∵的平分線交半圓于，

∴，

∴，

∴為直角三角形斜邊上的中線，

∴，

∴是等腰三角形；

(2)∵，

∴，

在中，，

在中，，

∴，

∵，

而，

∴ ，

∴，即，

∴四邊形的面積=.