Question

【題目】如圖，AD 是△ABC 的角平分線，DE，DF 分別是△BAD 和△ACD 的高，得到下列四個結論：①OA＝OD；②AD⊥EF；③當∠A＝90°時，四邊形 AEDF 是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正確的是_________（填序號）．

Answer 1

【答案】②③④．

【解析】

①如果OA=OD，則四邊形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合題意，所以①不正確；

②首先根據全等三角形的判定方法，判斷出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出△AE0≌△AFO，即可判斷出AD⊥EF；

③首先判斷出當∠A=90°時，四邊形AEDF的四個角都是直角，四邊形AEDF是矩形，然后根據DE=DF，判斷出四邊形AEDF是正方形即可；

④根據△AED≌△AFD，判斷出AE=AF，DE=DF，即可判斷出AE+DF=AF+DE成立．

如果OA=OD，則四邊形AEDF是矩形，沒有說∠A=90°，不符合題意，故①錯誤；

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠EAD=∠FAD，

在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，DE=DF，

∴AE+DF=AF+DE，故④正確；

∵在△AEO和△AFO中，

，

∴△AEO≌△AFO（SAS），

∴EO=FO，

又∵AE=AF，

∴AO是EF的中垂線，

∴AD⊥EF，故②正確；

∵當∠A=90°時，四邊形AEDF的四個角都是直角，

∴四邊形AEDF是矩形，

又∵DE=DF，

∴四邊形AEDF是正方形，故③正確．

綜上可得：正確的是：②③④，

故答案為：②③④．