Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的切線，BC為⊙O的直徑，AC與⊙O交于點D，點E為AB的中點，PF⊥BC交BC于點G，交AC于點F
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）求證：△CFP∽△CPD；
（3）如果CF=1，CP=2，sinA= ，求O到DC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵BC為直徑，

∴△BDC為直角三角形．

在Rt△ADB中，E為AB中點，

∴BE=DE，

∴∠EBD=∠EDB．

又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，

∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．

∴ED是⊙O的切線．

（2）證明：∵PF⊥BC，

∴∠FPC=90°﹣∠BCP（直角三角形的兩個銳角互余）．

∵∠PDC=90°﹣∠PDB（直徑所對的圓周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所對的圓周角相等），

∴∠FPC=∠PDC（等量代換）．

又∵∠PCF是公共角，

∴△PCF∽△DCP．

（3）解：過點O作OM⊥CD于點M，

∵△PCF∽△DCP，

∴PC2=CFCD（相似三角形的對應邊成比例）．

∵CF=1，CP=2，

∴CD=4．

可知sin∠DBC=sinA=sin∠MOC= ，

∴ = ，即 = ，

∴直徑BC=5，

∴ = ，

∴MC=2，

∴MO= ，

∴O到DC的距離為 ．

【解析】（1）連接OD，證OD⊥DE即可．易證∠ADB=90°，又點E為AB的中點，得DE=EB．根據等腰三角形性質可證∠ODE=∠OBE=90°，得證；（2）可證∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC．結合已知條件，證明△PDC與△FPC相似．（3）根據△PCF∽△DCP，得出CD的長度，進而求出O到DC的距離即可．