Question

【題目】如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，若MA=MC．
（1）求證：CD=AN；
（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四邊形ADCN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

∵CN∥AB，

∴∠1=∠2．

在△AMD和△CMN中，

，

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴AD=CN．

又AD∥CN，

∴四邊形ADCN是平行四邊形，

∴CD=AN；

（2）解：∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，

∴AN=2MN=2，

∴AM= = ，

∴S△AMN= AMMN= × ×1= ．

∵四邊形ADCN是平行四邊形，

∴S四邊形ADCN=4S△AMN=2 ．

【解析】（1）利用“平行四邊形ADCN的對邊相等”的性質可以證得CD=AN；（2）根據“直角△AMN中的30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得AN=2MN=2，然后由勾股定理得到AM= ，則S四邊形ADCN=4S△AMN=2 ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．