Question

【題目】如圖，在中，直徑垂直于弦，垂足為，連結，將沿翻轉得到，直線與直線相交于點．

（1）求證：是的切線；

（2）若為的中點，，求的半徑長；

（3）①求證：；

②若的面積為，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的半徑為2；（3）①見解析；②．

【解析】

（1）連接OC，由OA=OC得，根據折疊的性質得∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°，則∠2=∠3，于是可判斷OC∥AF，根據平行線的性質得，然后根據切線的性質得直線FC與⊙O相切；
（2）首先證明△OBC是等邊三角形，在Rt△OCE中，根據OC2=OE2+CE2，構建方程即可解決問題；
（3）①根據等角的余角相等證明即可；
②利用圓的面積公式求出OB，由△GCB∽△GAC，可得，由此構建方程即可解決問題；

解：（1）證明：連結，則，

，

，

，

又，

即直線垂直于半徑，且過的外端點，

是的切線；

（2）點是斜邊的中點，

，

是等邊三角形，且是的高，

在中，

，即

解得，即的半徑為2；

（3）①∵OC=OB，

∴，

，，

．

②，

，

由①知：，

，即，

，

解得：．