Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)P是直徑AB上的一點(diǎn)（不與A重合），過點(diǎn)P作AB的垂線交BC于點(diǎn)Q．
（1）在線段PQ上取一點(diǎn)D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若cosB=

3

5

，BP=6，AP=1，求QC的長．

Answer 1

（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OC，如圖，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°-∠1-∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC為⊙O的半徑，
∴CD為⊙O的切線；

（2）連接AC，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB=

BC

AB

=

BC

AP+BP

=

3

5

，
而BP=6，AP=1，
∴BC=

21

5

，
在Rt△BPQ中，cosB=

PB

BQ

=

3

5

，
∴BQ=

6

3 5

=10，
∴QC=BQ-BC=10-

21

5

=

29

5

．