Question

【題目】已知，拋物線與軸交于，兩點，頂點為．

（1）當，時，求線段的長度；

（2）當，若點到軸的距離與點到軸的距離相等，求該拋物線的解析式；

（3）若，當時，的最大值為2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）(P在第一象限)，(P在第四象限)；（3）m的值為或10+2

【解析】

（1）把a=1,m=2代入函數解析式，得到y＝x2﹣4x+3，求出A、B兩點坐標，問題得解；

（2）把代入函數解析式，得到y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5=，確定點P的坐標（m,2m-5），即點P在直線 y=2x-5上，根據點P到x軸的距離與點P到y軸的距離相等，分點P在第一象限和第四象限討論即可；

（3）當a＝，拋物線的解析式為y＝（x﹣m）2+2m﹣5．分三類討論①當m＞2m﹣2，即m＜2時，（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2；②當2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5時，2m﹣5＝2；③當m＜2m﹣5，即m＞5時，（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，分別解方程，舍去不合題意者，問題得解．

解：（1）當a=1,m=2時；y＝x2﹣4x+3

當y=0時，x2﹣4x+3=0；

AB=3-1=2

（2）y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5=

∵頂點為P，∴P（m,2m-5）

∴點P在直線 y=2x-5上

∵點P到x軸的距離與點P到y軸的距離相等

∴當點P在第一象限時，m=2m-5，m=5，該拋物線的解析式為

當點P在第四象限時，m=-（2m-5），m=，該拋物線的解析式為

（3）a＝，拋物線的解析式為y＝（x﹣m）2+2m﹣5．

分三種情況考慮：

①當m＞2m﹣2，即m＜2時，有（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，

整理，得：m2﹣14m+39＝0，

解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；

②當2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5時，有2m﹣5＝2，

解得：m＝；

③當m＜2m﹣5，即m＞5時，有（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，

整理，得：m2﹣20m+60＝0，

解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．

綜上所述：m的值為或10+2．