Question

如圖，拋物線y=﹣x²+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

(1)拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2
(2)存在，P₁（，4），P₂（，），P₃（，﹣）
(3)當點E運動到（2，1）時，四邊形CDBF的面積最大，S_{四邊形CDBF的面積最大}=．

試題分析：（1）將點A、C的坐標分別代入可得二元一次方程組，解方程組即可得出m、n的值；
（2）根據二次函數的解析式可得對稱軸方程，由勾股定理求出CD的值，以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于P₁；以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點P₂，P₃；作CH垂直于對稱軸與點H，由等腰三角形的性質及勾股定理就可以求出結論；
（3）由二次函數的解析式可求出B點的坐標，從而可求出BC的解析式，從而可設設E點的坐標，進而可表示出F的坐標，由四邊形CDBF的面積=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF可求出S與a的關系式，由二次函數的性質就可以求出結論．
試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x²+mx+n經過A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2；
（2）∵y=﹣x²+x+2，

∴y=﹣（x﹣）²+，
∴拋物線的對稱軸是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，
∴CP₁=CP₂=CP₃=CD．
作CH⊥x軸于H，
∴HP₁=HD=2，
∴DP₁=4．
∴P₁（，4），P₂（，），P₃（，﹣）；
（3）當y=0時，0=﹣x²+x+2
∴x₁=﹣1，x₂=4，
∴B（4，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得
，
解得：，
∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．
如圖2，過點C作CM⊥EF于M，設E（a，﹣a+2），F（a，﹣a²+a+2），
∴EF=﹣a²+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a²+2a（0≤x≤4）．
∵S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=+a（﹣a²+2a）+（4﹣a）（﹣a²+2a），
=﹣a²+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）²+
∴a=2時，S四邊形CDBF的面積最大=，
∴E（2，1）．