Question

有一張長方形紙片ABCD，其中AB=3，BC=4，將它折疊后，可使點C與點A重合（圖1），也可使點C與AB上的點E重合（圖2），也可使點C與AD上的點E重合（圖3），折痕為線段FG．
（1）如圖1，當點C與點A重合時，則折痕FG的長為______．
（2）如圖2，點E在AB上，且AE=1，當點C與點E重合時，則折痕FG的長為______．
（3）如圖3，當C與AD上的點E重合，折痕FG與邊BC、CD分別相交于點F、G，AE=x，BF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域．
（4）如果折疊后，使點C與這張紙的邊上點E重合，且DG=1，那么點E可以在邊______ 上（寫出所有可能的情況）．

Answer 1

解：（1）連接CG．
∵點C與點A關于FG對稱，
∴FG垂直平分AC，
∴∠AHG=90°，AH=AC=2.5．
在△AHG與△CBA中，∵∠AHG=∠CBA，∠GAH=∠ACB，
∴△AHG∽△CBA，
∴HG：AB=AH：BC，
∴HG=3×2.5÷4=．
在△AHG與△CHF中，
∠GAH=∠HCF，AH=CH，∠AHG=∠CHF，
∴△AHG≌△CHF，
∴HG=HF，
∴FG=2HG=；
（2）連接CG，EG，則FG垂直平分CE．
在△CHF與△CBE中，∠CHF=∠B=90°，∠HCF=BCE，
∴△CHF∽△CBE，
∴HF：BE=CH：BC，
∴CH=2HF．
設HF=x，則CE=2CH=4x．
在△BCE中，∠B=90°，
∴CE²=BE²+BC²，
∴16x²=4+16，
∴x=．
設DG=y，則AG=4-y．
∵GE=GC，
∴1²+（4-y）²=3²+y²，
∴y=1．
∴GC²=DG²+CD²=1+9=10，
∴GH²=GC²-CH²=10-5=5，
∴GH=，
∴GF=GH+HF=+=；

（3）過點F作FH⊥AD，H為垂足，連接FE．則FE=FC=4-y，HE=x-y，FH=3，
由勾股定理有（x-y）²+3²=（4-y）²，
從而得（1＜x＜）；

（4）AB、AD、BC．
故答案為；；AB、AD、BC．
分析：（1）連接CG，可證△AHG∽△CBA，根據相似三角形的對應邊成比例可求出HG的長度；易證△AHG≌△CHF，則FG=2HG；
（2）連接CG，EG，則FG垂直平分CE．易證△CHF∽△CBE，得出CH=2HF．在直角△BCE中，運用勾股定理，可出CE的長度，求出HF的值；設DG=y，由GE=GC，運用勾股定理求出y的值，得到CG的長度，從而在直角△CHG中，由勾股定理計算出GH的值，則GF=GH+HF；
（3）過點F作FH⊥AD，H為垂足，連接FE．在直角△HFE中，運用勾股定理可求得y關于x的函數解析式，并根據條件得到函數的定義域；
（4）（2）中點C與點E重合，且DG=1，即點E可以在邊AB上，同樣，可知點E可以在邊AD、BC上．
點評：本題考查了軸對稱、矩形的性質，全等三角形、相似三角形的判定與性質及勾股定理等知識，綜合性較強，有一定難度．