Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別相交于點B、C，經過B、C兩點的拋物線與軸的另一個交點為A，頂點為P，且對稱軸為直線。點G是拋物線位于直線下方的任意一點，連接PB、GB、GC、AC .

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求△GBC面積的最大值；

（3）連接AC，在軸上是否存在一點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）; （2）當時，面積的取最大值; （3）在x軸上存在兩點Q1（0，0），Q2（，0），能使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．

【解析】

（1）根據二次函數的對稱性，已知對稱軸的解析式以及B點的坐標，即可求出A的坐標，利用拋物線過A、B、C三點，可用待定系數法來求函數的解析式；

（2）過作∥軸交于點.設點,則點，列出關于△GBC面積的解析式，利用二次函數的性質求解即可；

（3）本題要先根據拋物線的解析式求出頂點P的坐標，然后求出BP的長，進而分三情況進行討論：①當，∠PBQ=∠ABC=45°時；②當，∠QBP=∠ABC=45°時；③當Q在B點右側，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此種情況是不成立的，綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標．

（1）∵直線y＝﹣x+3與x軸相交于點B、點C，

∴當y＝0時，x＝3；當x＝0時，y＝3.

∴點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），

又∵拋物線過x軸上的A，B兩點，且對稱軸為x＝2，

∴點A的坐標為（1，0）．

又∵拋物線y＝ax2+bx+c過點A（1，0），B（3，0），C（0，3），

， 解得：，

∴該拋物線的解析式為：；

（2）如圖，過作∥軸交于點.

設點,則點，

∴，

∴，

∵，

∴ 當時，面積的取最大值.

（3）如圖，

由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得頂點P（2，﹣1），

設拋物線的對稱軸交x軸于點M，

∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，

∴∠PBM＝45°，PB＝．

由點B（3，0），C（0，3）易得OB＝OC＝3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，

由勾股定理，得BC＝．

假設在x軸上存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．

①當，∠PBQ＝∠ABC＝45°時，△PBQ∽△ABC．

即，

解得：BQ＝3，

又∵BO＝3，

∴點Q與點O重合，

∴Q1的坐標是（0，0）．

②當，∠QBP＝∠ABC＝45°時，△QBP∽△ABC．

即，

解得：QB＝．

∵OB＝3，

∴OQ＝OB﹣QB＝3﹣，

∴Q2的坐標是（，0）．

③當Q在B點右側，

則∠PBQ＝＝135°，∠BAC＜135°，

故∠PBQ≠∠BAC．

則點Q不可能在B點右側的x軸上，

綜上所述，在x軸上存在兩點Q1（0，0），Q2（，0），能使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．