Question

【題目】已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若等邊三角形ABC的邊長為4，求DF的長；

（3）寫出求圖中陰影部分的面積的思路．（不求計算結果）

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）（3）﹣π．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，如圖，利用等邊三角形的性質得到∠A=∠C=60°，再證明OD∥BC，然后利用DF⊥BC可得OD⊥BC，再根據切線的判定定理可判斷DF為⊙O的切線；

（2）利用等邊三角形的性質得到AB=AC=4，∠C=60°，則CD=2，然后在Rt△CDF中利用正弦的定義可計算出DF；

（3）連接OE，如圖，根據扇形的面積公式，利用S陰影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE進行計算．

試題解析：（1）連接OD，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠C=60°，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=60°，∴∠ODA=∠C，∴OD∥BC，∵DF⊥BC，

∴OD⊥BC，∴DF為⊙O的切線；

（2）∵等邊三角形ABC的邊長為4，∴AB=AC=4，∠C=60°，∵AO=AD=2，

∴CD=2，在Rt△CDF中，∵sinC=，∴DF=2sin60°=；

（3）連接OE，如圖，∵CF=CD=1，∴EF=CE﹣CF=1，

∴S陰影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE=（1+2）﹣=﹣π．