Question

【題目】如圖，已知二次函數y=﹣x2+bx+c（其中b，c為常數）的圖象經過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交該二次函數圖象于點B，連結BC．

（1）求該二次函數的解析式及點M的坐標．
（2）若將該二次函數圖象向下平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數圖象的頂點落在△ABC的內部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍．
（3）沿直線AC方向平移該二次函數圖象，使得CM與平移前的CB相等，求平移后點M的坐標．
（4）點P是直線AC上的動點，過點P作直線AC的垂線PQ，記點M關于直線PQ的對稱點為M′．當以點P，A，M，M′為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點A（3，1），點C（0，4）代入二次函數y=﹣x2+bx+c得

解得 ，

∴二次函數解析式為y=﹣x2+2x+4，

配方得y=﹣（x﹣1）2+5，

∴點M的坐標為（1，5）

（2）解：設直線AC解析式為y=kx+b，把點A（3，1），C（0，4）代入得 ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4，如圖所示，對稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點E、點F

把x=1代入直線AC解析式y=﹣x+4解得y=3，則點E坐標為（1，3），點F坐標為（1，1），

點M向下平移m個單位后，坐標為（1，5﹣m），

由題意：1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；

∴2＜m＜4

（3）解：如圖，

當y=1時，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，

∴B（﹣1，1），

∵C（0，4），

∴BC= = ，

∵MM′∥AC，CM′= ，M（1，5）．

∴M′的坐標為（3，3）或（﹣1，7）．

∴平移后點M的坐標（3，3）或（﹣1，7）

（4）解：如圖，連接MC，MM′交PQ于F，則四邊形CMFP是矩形，

當四邊形 PAM′M是平行四邊形時，PA=MM′=2MF=2PC，設P（m，﹣m+4），

則有 （3﹣m）=2 m，

∴m=1，

∴P（1，3），

當四邊形 P′AMM′是平行四邊形時，易知AP′=2CP′，

∴ （3﹣m）=2 （﹣m），

解得m=﹣3，

∴P（﹣3，7），

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（1，3）或（﹣3，7）．

【解析】（1）將點A（3，1），點C（0，4）代入二次函數y=﹣x2+bx+c，求出b、c的值即可，再用配方法求出頂點坐標。
（2）先求出直線AC的函數解析式，再根據已知AB∥x軸及點A的坐標，求出點E、F的坐標，點M向下平移m個單位后，坐標為（1，5﹣m），再見了不等式組，即可求出m的取值范圍。
（3）當y=1時，﹣x2+2x+4=1，解方程求出方程的解，可得到點B的坐標，再Rt△BDC中，利用勾股定理可求出BC的長，由MM′∥AC及點M的坐標，就可求出平移后點M的坐標。
（4）連接MC，MM′交PQ于F，則四邊形CMFP是矩形，當四邊形 PAM′M是平行四邊形時，PA=MM′=2MF=2PC，建立方程求出點P的坐標；當四邊形 P′AMM′是平行四邊形時，易知AP′=2CP′，建立方程求出點P的坐標。
【考點精析】關于本題考查的確定一次函數的表達式和勾股定理的概念，需要了解確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．