Question

【題目】如圖，是的直徑，，垂足為點，連接、，點是延長線上的一點，且．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

(1) 連結(jié)OC ，根據(jù)AB是⊙O的直徑得到，再證明，根據(jù)CF經(jīng)過半徑OC的外端得到FC是⊙O的切線；

(2)先得到∠ACE+∠BAC＝90°，根據(jù)三角函數(shù)得到EC的長度，再根據(jù)勾股定理求出圓的半徑等于8，再證明△AOC為等邊三角形，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得到FC的長度；

（1）證明：連結(jié)OC，

∵AB是⊙O的直徑

∴

∵OB=OC

∴∠B=∠OCB

∴

∵∠FCO=∠B

∴

即

又∵CF經(jīng)過半徑OC的外端

∴FC是⊙O的切線．

（2）AB⊥CD

∴，

∴∠ACE+∠BAC＝90°，

又在RtABC中，∠B+∠BAC=90°

∴∠ACE=∠B＝30°

∴，

設(shè)OA=OC=r

即，

解得r=8

∴OE=r-4=8-4=4=AE

又∵CE⊥OA

∴CA=CO=8

∴△AOC為等邊三角形，

∴∠FOC=60°，

∴∠F=30°，

在Rt△FOC中，

∵∠OCF=90°，OC=8，∠F=30°，

∴OF=2OC=16

∴；