Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+ x﹣ （k＞0）與x軸交于點A、B，點A在點B的右邊，與y軸交于點C
（1）如圖1，若∠ACB=90°

①求k的值；
②點P為x軸上方拋物線上一點，且點P到直線BC的距離為 ，則點P的坐標為（請直接寫出結果）
（2）如圖2，當k=2時，過原點O的任一直線y=mx（m≠0）交拋物線于點E、F（點E在點F的左邊）

①若OF=2OE，求直線y=mx的解析式；
②求 + 的值．

Answer 1

【答案】
（1）k=8；（﹣4﹣ ， ）
（2）

解：①過點E、F分別作x軸的垂線，垂直分別為M，N．

把k=2代入得：y= x2﹣1．

由 x2﹣1=mx，得到xE+xF=4m，xExF=﹣4．

∵OF=2OE，

∴xF=﹣2xE，且xE＜0，

∴﹣2xExE=﹣4，解得：xE=﹣ ．

∴﹣ +2 =4m，解得：m= ．

∴直線的解析式為y= x．

②設∠FON=α，則 + =cosα（ + ）．

∵直線EF的解析式為y=mx，

∴tanα=m，

∴cosα= ．

∴ + = = = = ．

∴ + =cosα（ + ）= =1．

【解析】（1）①∵y= [x2+（k﹣2）x﹣2k]= （x﹣2）（x+k），
∴點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（﹣k，0）．
∵將x=0代入拋物線的解析式為y=﹣ ．
∴點C的坐標為（0，﹣ ）．
∵∠BCO+∠ACO=90°，∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠OBC=∠OCA．
又∵∠BOC=∠AOC，
∴△OBC∽△OCA．
∴ = ．
∴OC2=AOOB．
∴ k2=2k，解得：
k=8或者k=0（舍）
②將k=8代入拋物線的解析式得：y= x2+ x﹣4．
當x=0時，y=﹣4，
∴C（0，﹣4）．
令y=0得： x2+ x﹣4=0，解得x=﹣8或x=2．
∴A（2，0）B（﹣8，0）．
∴AC= =2 ．
設直線BC的解析式為y=kx+b，將點B和點C的坐標代入得： ，
解得： ，
∴直線BC的解析式為y= x﹣4．
設M為AC的中點，則M（1，﹣2），如圖1所示：過點M作PM∥BC，交拋物線與點P．

設直線PM的解析式為y=﹣ x+c，將點M的坐標代入得：﹣ +c=﹣2，解得：c=﹣ ．
∴直線PM的解析式為y=﹣ x﹣ ．
∴﹣ x﹣ = x2+ x﹣4，解得x=﹣4﹣ 或x=﹣4+ （舍去）．
當x=﹣4﹣ 時，y= ．
∴點P的坐標為（﹣4﹣ ， ）．
所以答案是：（﹣4﹣ ， ）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解根與系數的關系的相關知識，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商，以及對確定一次函數的表達式的理解，了解確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法．