Question

【題目】已知拋物線y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于點A（3，0）和點C，與y軸交于點B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點D，使得點D到點B、C的距離之和最小，并求出點D的坐標(biāo)解：；
（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點A（3，0）和點B（0，3），

∴ ，解得a=﹣1，c=3，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3．

（2）

對稱軸為x= =1，

令y=﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴C（﹣1，0）．

如圖1所示，連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點，由于A、C兩點關(guān)于對稱軸對稱，則此時DB+DC=DB+DA=AB最小．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：

，解得k=﹣1，b=3，

∴直線AB解析式為y=﹣x+3．

當(dāng)x=1時，y=2，∴D點坐標(biāo)為（1，2）．

（3）

解：結(jié)論：存在．

如圖2所示，

設(shè)P（x，y）是第一象限的拋物線上一點，

過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y，AN=OA﹣ON=3﹣x．

S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB

= （OB+PN）ON+ PNAN﹣ OAOB

= （3+y）x+ y（3﹣x）﹣ ×3×3

= （x+y）﹣ ，

∵P（x，y）在拋物線上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：

S△ABP= （x+y）﹣ =﹣ （x2﹣3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)x= 時，S△ABP取得最大值．

當(dāng)x= 時，y=﹣x2+2x+3= ，∴P（ ， ）．

所以，在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大；P點的坐標(biāo)為（ ， ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點．為求D點坐標(biāo)，需先求出直線AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D點坐標(biāo)；（3）本問關(guān)鍵是求出△ABP的面積表達(dá)式．這個表達(dá)式是一個關(guān)于P點橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法可以確定P點的坐標(biāo)．
【考點精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．