Question

【題目】數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以互相轉化.樹形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的.

(1) （思想應用）已知m， n均為正實數，且m+n=2求的最小值通過分析，愛思考的小明想到了利用下面的構造解決此問題:如圖， AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，點E是線段AB上的動點，且不與端點重合，連接CE，DE，設AE=m， BE=n.

①用含m的代數式表示CE=_______， 用含n的代數式表示DE= ;

②據此求的最小值;

(2)（類比應用）根據上述的方法，求代數式的最小值.

Answer 1

【答案】（1）①，；②；（2）20.

【解析】

（1）①利用勾股定理得到CE=，DE=；

②根據CE+DE=+，利用兩點之間線段得到CE+DE≥CD（當且僅當C、E、D共線時取等號），作DH⊥CA交CA的延長線于H，如圖，易得四邊形ABDH為矩形，利用勾股定理計算出CD=，從而求解；

（2）如（1）中圖，設AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，則BE=16-x，利用勾股定理得到CE=，DE=；根據兩點之間線段得到而CE+DE≥CD（當且僅當C、E、D共線時取等號），根據四邊形ABDH為矩形，利用勾股定理計算出CD即可得到最小值．

解：（1）①在Rt△ACE中，，

在Rt△BDE中，DE=；
②CE+DE=+，

而CE+DE≥CD（當且僅當C、E、D共線時取等號），
作DH⊥CA交CA的延長線于H，如圖，易得四邊形ABDH為矩形，

∴AH=BD=2，DH=AB=2，
在Rt△CHD中，CD=，

∴CE+DE的最小值為，即的最小值為；

（2）如（1）中圖，設AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，則BE=16-x，

在Rt△ACE中，CE=，

在Rt△BDE中，DE=

∴CE+DE=+，

而CE+DE≥CD（當且僅當C、E、D共線時取等號），

∵四邊形ABDH為矩形，

∴AH=BD=7，DH=AB=16，

在Rt△CHD中，CD=

∴CE+DE的最小值為20，即的最小值為20．