Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，O為BC中點，如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，設AM的長為x，CN的長為y，且x、y滿足等式（a＞0）

（1）求證：BM=AN；

（2）請你判斷△OMN的形狀，并證明你的結論；

（3）求證：當OM∥AC時，無論a取何正數，△OMN與△ABC面積的比總是定值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△OMN是等腰直角三角形，證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】

試題（1）由等式可得出x=y=a，結合等腰直角三角形的性質，即可證得；

（2）作OE⊥AC，OF⊥AB，通過證明△OFM≌△OEN，可得OM=ON，根據全等三角形的性質，只要證得∠MON=90°，即可證得；

（3）當OM∥AC時，OM、ON是等腰Rt△ABC的中位線，由三角形的面積計算公式，表示出三角形的面積，比較出其比值即可；

試題解析：（1）∵∠A=90°，∠B=45°，

∴∠C=45°，從而AB=AC；

由等式（a＞0），知x=y=a，AM=CN=a，

∴BM=AB－AM=AC－CN=AN

（2）△OMN是等腰直角三角形。證明如下：

連AO，

∵AB=AC，O為BC中點，

∴∠BAO=∠CAO=90°÷2=45°且AO⊥BC；

∵∠B=∠C=45°，

∴AO=BO=CO；

又BM=AN，

∴△BMO≌△ANO（SAS），

∴OM=ON，∠BOM=∠AON，

∴∠MON=∠AON＋∠MOA=∠BOM＋∠MOA=90°，即MO⊥NO，

故△OMN是等腰直角三角形

（3）當OM∥AC時，知∠BOM=∠A=90°，

由于∠B=45°，

∴△BMO是等腰直角三角形，從而∠BOM=45°；

∵∠MON=90°，

∴∠CON=45°，

又∠C=45°，

∴∠ONC=90°，

∵OM=ON，OB=OC，

∴且△BMO和△CNO是全等的等腰直角三角形（HL），

∴BM=MO=NO=NC=a，

由（1）知AN=BM=a，

∴AC=AB=2a，

∴△OMN與△ABC面積的比=a2：（2a）2=，

故結論成立