Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線經過點A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.

（1）求此拋物線的函數表達式；

（2）若P為線段BC上一點，過點P作軸的平行線，交拋物線于點D，當△BCD面積最大時，求點P的坐標；

（3）若M（m，0）是軸上一個動點，請求出CM+MB的最小值以及此時點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，），面積最大為；（3）CM+MB最小值為，M（，0）

【解析】

（1）利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；（2）由待定系數法即可求得直線BC的解析式，設P（a，a-3），得出PD的長，列出S△BDC的表達式，化簡成頂點式，即可求解；

（3）取G點坐標為（0，），過M點作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情況，再將直線BG、直線B′C的解析式求出，求得M點坐標和∠CGB的度數，再根據∠CGB的度數利用三角函數得出最小值B′C的值.

解：（1）∵拋物線經過點A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），

代入表達式，解得a= 1，b=-2，c=-3，

∴故該拋物線解析式為：.

（2）令，
∴x1=-1，x2=3，
即B（3，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b′，將B、C代入得：k=,1，b′=-3，

∴直線BC的解析式為y=x-3，

設P（a，a-3），則D（a，a2-2a-3），

∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）= -a2+3a

S△BDC=S△PDC+S△PDB

=PD×3

=，

∴當a=時，△BDC的面積最大，且為為，此時P（，）；

（3）如圖，取G點坐標為（0，），連接BG，

過M點作MB′⊥BG，∴B′M＝BM，

當C、M、B′在同一條直線上時，CM+MB最小.

可求得直線BG解析式為：，

∵B′C⊥BG

故直線B′C解析式為為，

令y=0，則x=，

∴B′C與x軸交點為（，0）

∵OG=，OB=3，

∴∠CGB=60°，

∴B′C= CGsin∠CGB==，

綜上所述：CM+MB最小值為，此時M（，0）.