Question

【題目】如圖，四邊形內接于，平分．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，，弦交于點，若，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點是上一點，連接，，若，，求線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）.

【解析】

（1）作OM⊥AB于M，ON⊥AD與N，由角平分線定理得到OM=ON，然后即可得到AB=AD；

（2）在FC上截取CP=BC，連接AP、AC，由CFBC=DF，得到PF=DF，然后證明△ABC≌△APC，得到AB=AP=AD，由等腰三角形三線合一定理，即可得到結論；

（3）作BT∥CD，分別交AD、AE于點T、H，則∠ATB=∠D，根據平行四邊形性質，得到邊的關系，然后求出AT=3，然后證明△AHT∽△BHG，得到，然后根據線段的比例關系，得到，，進而求出AG的長度.

（1）證明：如圖1，作OM⊥AB于M，ON⊥AD與N，

∵平分，

∴OM=ON，

∴AM=AN，

∴AB=AD；

（2）證明：如圖2，在FC上截取CP=BC，連接AP、AC，

∵CFCP=PF，則CFBC=PF，

∵CFBC=DF，

∴PF=DF，

∵AB=AD，

∴∠ACB=∠ACD，

∵CP=BC，AC=AC，

∴△ABC≌△APC（SAS），

∴AB=AP=AD，

∵PF=DF，

∴AE⊥CD（三線合一）；

（3）解：如圖3，作BT∥CD，分別交AD、AE于點T、H，則∠ATB=∠D，

∵，

∴AB=CD，，

∴∠BAD=∠D，

∵∠ABC+∠D=180°，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∴AD∥BC，

∴TD=BC，BT=CD，

∵CFBC=DF，

∴TD=BC= CFDF=CD2DF，

∵，

∴TD=CD，

∴AT=ADTD=CDTD=CD（CD）=3；

∵AE⊥CD，BT∥CD，

∴∠D+∠DAE=90°，AE⊥BT，

∴∠AGB+∠DAE=90°，

∴∠AGB=∠D，

∴∠AGB=∠ATB，

∴△AHT∽△BHG，

∴，即，

設，，則，

∴AD=BT=，

∴TH=BTBH=，

∵BT∥CD，

∴，即，

∴，

∴，，

∴，

∴.