Question

【題目】如圖，直線，直線分別與、相交于點、．小亮同學利用尺規按以下步驟作圖：①以點為圓心，以任意長為半徑作弧交于點，交于點；②分別以、為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③做射線交于點．若，，則的內切圓半徑長等于__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題中尺規作圖方法可知AF為∠BAN的角平分線，根據已知條件可知△ABF是以頂角為120°的等腰三角形，再根據內切圓半徑與三角形面積的關系即可求出內切圓半徑．

解：由題意可知，AF為∠BAN的角平分線，

∵，，

∴∠BAN=60°，∠ABF=120°，

∵AF為∠BAN的角平分線

∴∠BAF=∠NAF=30°，

∴∠AFB=30°

∴△ABF是以頂角為120°的等腰三角形，如下圖所示

設圓O為△ABF的內切圓，過點O作OG⊥AB于點G，OH⊥AB于點H，OL⊥AF于點L，連接OA，OB，OF，設內切圓半徑為r，則OG=OH=OL=r

∵

∴AF=AB=2，AF=2，BL=1

由等面積法可知：，

即

解得：

故答案為：．