Question

【題目】如圖①,△ABC與△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且點D在AB邊上,AB、EF的中點均為O,連結BF、CD、CO,顯然點C, F, O在同一條直線上,可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD,

解決問題

(1)將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數量關系，并證明你的結論；

(2)如圖③,若△ABC與△DEF都是等邊三角形,AB、EF的中點均為O,上述(1)中的結論仍然成立嗎?如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數量關系；

(3)如圖④,若△ABC與△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中點均為0,且頂角∠ACB=∠EDF=α,請直接寫出 的值(用含α的式子表示出來)

Answer 1

【答案】（1）BF=CD，證明見解析；（2）不成立，見解析；（3） .

【解析】

（1）如答圖②所示，連接OC、OD，證明△BOF≌△COD；

（2）如答圖③所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為 ；

（3）如答圖④所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為tan

(1)猜想：BF=CD.理由如下：

如答圖②所示，連接OC、OD.

∵△ABC為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，

∴OB=OC,∠BOC=90°.

∵△DEF為等腰直角三角形，點O為斜邊EF的中點，

∴OF=OD,∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD.

∵在△BOF與△COD中，

∴△BOF≌△COD(SAS)，

∴BF=CD.

(2)答：(1)中的結論不成立。

如答圖③所示，連接OC、OD.

∵△ABC為等邊三角形，點O為邊AB的中點，

∴ =tan30°= ,∠BOC=90°.

∵△DEF為等邊三角形，點O為邊EF的中點，

∴ =tan30°= ,∠DOF=90°.

∴ = =.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD.

在△BOF與△COD中，

∵ = =，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴.

(3)如答圖④所示，連接OC、OD.

∵△ABC為等腰三角形，點O為底邊AB的中點，

∴OBOC=tanα2,∠BOC=90°.

∵△DEF為等腰三角形，點O為底邊EF的中點，

∴ =tan ,∠DOF=90°.

∴ = =tan.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD.

在△BOF與△COD中，

∵ = =tan，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴ tan