Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（4，0），B（0，4），C（6，6）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）證明：四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；

（3）在四邊形AOBC的內部能否截出面積最大的DEFG？（頂點D，E，F，G分別在線段AO，OB，BC，CA上，且不與四邊形AOBC的頂點重合）若能，求出DEFG的最大面積，并求出此時點D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=x2﹣x+4；(2)、證明過程見解析；(3)、最大值為12，此時D點坐標為（2，0）

【解析】

試題(1)、根據拋物線經過點A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系數法，求出拋物線的表達式即可；(2)、利用兩點間的距離公式分別計算出OA=4，OB=4，CB=2，CA=2，則OA=OB，CA=CB，根據線段垂直平分線定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；(3)、如圖2，利用兩點間的距離公式分別計算出AB=4，OC=6，設D（t，0），根據平行四邊形的性質四邊形DEFG為平行四邊形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC與△OAC關于OC對稱，則可判斷EF和DG為對應線段，所以四邊形DEFG為矩形，DG∥OC，則DE∥AB，于是可判斷△ODE∽△OAB，利用相似比得DE=t，接著證明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG=（4﹣t），所以矩形DEFG的面積=DEDG=t（4﹣t）=﹣3t2+12t，然后根據二次函數的性質求平行四邊形DEFG的面積的最大值，從而得到此時D點坐標．

試題解析：(1)、設該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c， 根據題意得，解得，

∴拋物線的表達式為y=x2﹣x+4；

(2)、如圖1，連結AB、OC， ∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），

∴OA=4，OB=4，CB=2，CA=2，

∴OA=OB，CA=CB， ∴OC垂直平分AB， 即四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；

(3)、能． 如圖2，AB=4，OC=6，設D（t，0），

∵四邊形DEFG為平行四邊形， ∴EF∥DG，EF=DG， ∵OC垂直平分AB，

∴△OBC與△OAC關于OC對稱， ∴EF和DG為對應線段， ∴四邊形DEFG為矩形，DG∥OC，

∴DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴=，即=，解得DE=t， ∵DG∥OC，

∴△ADG∽△AOC，∴=，即=，解得DG=（4﹣t），

∴矩形DEFG的面積=DEDG=t（4﹣t）=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12，

當t=2時，平行四邊形DEFG的面積最大，最大值為12，此時D點坐標為（2，0）．