Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點為點A（1，0）和點C（-3，0），與y軸的交點為點B（0，3）．
（1）求拋物線關系式．（最后結果寫成y=ax²+bx+c的形式）
（2）若頂點為點D，連接CD、CB，在x軸上取一動點P（m，0），m的取值范圍是-3＜m＜-1，過點P作x軸的垂線，分別交CD、CB于點F、E，連接BF．
①判斷EF與EP的長度關系，并說明理由．
②在點P運動過程中，△BEF可以為等腰三角形嗎？求m的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（2）①首先利用待定系數法求得直線BC和CD的解析式，則EF和EP的長可以利用m表示出來，從而證得；
②利用m表示出△BEF的三邊長，然后分成三種情況討論，解方程求解即可．

解答 解：（1）根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是y=-x²-2x+3；
（2）①EF=EP．
理由是：y=-x²-2x+3=-（x+1）2+4，
則D的坐標是（-1，4）．
設直線BC的解析式是y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
則直線BC的解析式是y=x+3．
同理，直線CD的解析式是y=2x+6．
∵動點P（m，0）在x軸上，-3＜m＜-1，且PF⊥x軸．
∴點E（m，m+3），點F（m，2m+6），即PE=m+3，PF=2m+6．EF=PF-PE=（2m+6）-（m+3）=m+3．
∴EF=EP；
②點E（m，m+3），點F（m，2m+6），點B（0，3），-3＜m＜-1．
若△BEF為等腰三角形時，分成三種情況討論．
1）當BF=EF時，則$\sqrt{{m}^{2}+（2m+3）^{2}}$=m+3，
解得：m=-$\frac{3}{2}$或0（舍去）；
2）當BF=BE時，$\sqrt{{m}^{2}+（2m+3）^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+{m}^{2}}$，
解得：m=-1（舍去）或-3（舍去）；
3）當EF=BE時，則$\sqrt{{m}^{2}+{m}^{2}}$=m+3，解得m=3+3$\sqrt{2}$（舍去）或3-3$\sqrt{2}$．
總上所述，符合要求的m的值有2個，分別是-$\frac{3}{2}$和3-3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式，以及等腰三角形的討論，正確利用m表示出△BEF的邊長是關鍵．