Question

已知拋物線頂點D （0，

1

8

），且經過點A（1，

17

8

）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點F是坐標原點O關于該拋物線頂點的對稱點，坐標為（0，

1

4

）．我們可以用以下方法求線段FA的長度；過點A作AA₁⊥x軸，過點F作x軸的平行線，交AA₁于A₂，則FA₂=1，A₂A=

17

8

-

1

4

=

15

8

，在Rt△AFA₂中，有FA=

12+( 15 8 )2

=

17

8

．已知拋物線上另一點B的橫坐標為2，求線段FB的長；
（3）若點P是該拋物線在第一象限上的任意一點，試探究線段FP的長度與點P縱坐標的大小關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據題意設拋物線頂點式：y=a（x-h）²+k，再將AD兩點代入即可得出這條拋物線的解析式；
（2）先將點B的橫坐標代入拋物線解析式，求出縱坐標，過點B作BB₁⊥x軸，過點F作x軸的平行線，交BB₁于B₂，求得FB₂=2，B₂B，在Rt△BFB₂中，由勾股定理求出FB=

F B 2 2 +B B 2 2

．
（3）

解答：解：（1）設拋物線頂點式：y=a（x-h）²+k，
∵拋物線頂點D （0，

1

8

），且經過點A（1，

17

8

）．
∴a（1-0）²+

1

8

=

17

8

，
解得a=2，
∴這條拋物線的解析式為y=2x²+

1

8

；

（2）∵點B的橫坐標為2，∴點B的縱坐標為

65

8

，
過點B作BB₁⊥x軸，過點F作x軸的平行線，交BB₁于B₂，
∴FB₂=2，B₂B=

65

8

-

1

4

=

63

8

，
在Rt△BFB₂中，∴FB=

F B 2 2 +B B 2 2

=

22+( 63 8 )2

=

65

8

．

（3）相等，理由如下：
設點P的坐標為（a，2a²+

1

8

），
過點P作PP₁⊥x軸，過點F作x軸的平行線，交PP₁于P₂，
∴FP₂=a，P₂P=

1

4

-2a²-

1

8

=

1

8

-2a²，
在Rt△PFP₂中，∴FP=

F P 2 2 +P P 2 2

=

a2+( 1 8 -2a2)2

=

(2a2+ 1 8 ) 2

=2a²+

1

8

．
∴線段FP的長度與點P縱坐標相等．

點評：本題是一道綜合性的題目，考查了用待定系數法求二次函數的解析式，勾股定理二次函數的頂點式等知識點的綜合運用，難度較大．