Question

【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,3).

(1)該拋物線的對稱軸是直線___________，

(2)求拋物線的解析式；

(3)設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形?若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由：

Answer 1

【答案】（1）

（2）；

（3）存在，或（2.3）

【解析】

（1）求出拋物線的解析式后，利用因式分解化成完全平方的形式，即可求出

（2）根據待定系數法，可得函數解析式；
（3）根據等腰三角形的判定，可得三角形三邊的關系，分類討論：PD=CD，根據勾股定理，可得x2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2，根據圖象上的點滿足函數解析式，可得關于x的方程，根據解方程，可得答案；PD=CD時，根據對稱性，可得答案．

（1）∵拋物線經過A(1,0)、B(3,0) 、C(0,3)，
∴設拋物線解析式為，
根據題意，得

，
解得，

∴拋物線的解析式為；

∴可以化為：

∴該拋物線的對稱軸是直線
（2）由（1）可知，拋物線解析式為：

（3）存在， 由（1）可知，對稱軸為 所以D點坐標為（1，4），
當是等腰三角形時，分兩種情況：
①當以CD為底邊時，如圖2，PD=PC，
設P（x，y），根據勾股定理，
則有：，
解得：，
∵P在拋物線上，
∴，

∴

∴
∴ ，

即：，（不合題意，舍去），
∴，
∴，

②當DC為腰時，如圖3，則P、C關于直線x=1對稱，
∴P（2，3），
綜上所述，點P的坐標為或（2，3）．