Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點．∠APC=∠CPB=60°．

（1）判斷△ABC的形狀： ；

（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）當點P位于的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形；（2）PA+PB=PC；證明見解析（3）當點P為的中點時，四邊形APBC面積最大值為

【解析】

（1）根據圓周角的定義可得圓周角相等，他們所對的弦也相等得出AC=BC，同弧所對的圓周角相等可得∠BAC=∠BPC=60°，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，可得三角形ABC為等邊三角形．（2）在PC上截取PD=PA，連接AD，得出△PAD為等邊三角形，再根據已知條件得出△PAB≌△DAC，得出PC=DC，PD+DC=PC，等量代換得出結論．（3）當點P為的中點時，四邊形APBC的面積最大．理由，如圖過點P作PE⊥AB，CF⊥AB垂足分別為點E，點F，四邊形APBC的面積為△APB與△ACB的和，底相同，當PE+CF最大時，四邊形的面積最大，因為直徑是圓中最大的弦，即PE+CP=直徑，即P為的中點時，面積最大．

（1）等邊三角形；

由圓周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，

∴△ABC是等邊三角形；
故答案為：等邊三角形；

（2）PA+PB=PC．

證明：如圖1，在PC上截取PD=PA， 連接AD．

∵∠APC=60°．

∴△PAD是等邊三角形．

∴PA=AD， ∠PAD=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴∠PAB=∠DAC．

∵AB=AC．

∴△PAB≌△DAC．

∴PB=DC．

∵PD+DC=PC，

∴PA+PB=PC．

（3）當點P為的中點時，四邊形APBC面積最大．

理由如下：如圖2，過點P作PE⊥AB，垂足為E，

過點C作CF⊥AB，垂足為F．

∵S△PAB=AB·PE．S△ABC=AB·CF．

∴S四邊形APBC=AB（PE+CF）．

當點P為的中點時，PE+CF=PC．PC為⊙O的直徑．

∴此時四邊形∠PAD=60°∠PAD=60°面積最大．

又∵⊙O的半徑為1，

∴其內接正三角形的邊長AB=．

∴S四邊形APBC=×2×=．