Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，E為⊙O上一點，過點E作直線DC分別交AM，BN于點D，C，且CB=CE．

（1）求證：DA=DE；

（2）若AB=6，CD=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）連接OE，BE，根據已知條件證明CD為⊙O的切線，然后再根據切線長定理即可證明DA=DE；

（2） 如圖，連接OC，過點D作DF⊥BC于點F，根據S陰影部分=S四邊形BCEO﹣S扇形OBE，利用分割法即可求得陰影部分的面積．

（1）如圖，連接OE、BE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB．

∵BC=EC，

∴∠CBE=∠CEB，

∴∠OBC=∠OEC．

∵BC為⊙O的切線，

∴∠OEC=∠OBC=90°；

∵OE為半徑，

∴CD為⊙O的切線，

∵AD切⊙O于點A，

∴DA=DE；

（2）如圖，連接OC，過點D作DF⊥BC于點F，則四邊形ABFD是矩形，

∴AD=BF，DF=AB=6，

∴DC=BC+AD=4，

∵CF==2，

∴BC﹣AD=2，

∴BC=3，

在直角△OBC中，tan∠BOC==，

∴∠BOC=60°．

在△OEC與△OBC中，

，

∴△OEC≌△OBC（SSS），

∴∠BOE=2∠BOC=120°，

∴S陰影部分=S四邊形BCEO﹣S扇形OBE=2×BCOB﹣=9﹣3π．