Question

【題目】如圖，P為邊長為6的正方形ABCD的邊BC上一動點(P與B、C不重合)，Q在CD上，且CQ=BP，連接AP、BQ，將△BQC沿BQ所在的直線翻折得到△BQE，延長QE交BA的延長線于點F.

(1)試探究AP與BQ的數量與位置關系，并證明你的結論；

(2)當E是FQ的中點時，求BP的長。

Answer 1

【答案】(1)見解析：（2）2.

【解析】

(1)證明△ABP≌△BCQ，則∠PAB=∠CBQ，從而證明∠PAB+∠ABQ=90°，進而得證；

(2)由折疊的性質可得∠BQE=∠C=90°，∠QBE=∠QBC，再根據EQ=EF，可得BE垂直平分FQ，從而有BF=BQ，進而可得∠FBE=∠EBQ，再根據∠FBE+∠EBQ+∠QBC=∠ABC=90°，求出∠QBC=30°，可得BQ=2CQ，在Rt△BCQ中，利用勾股定理求出CQ長即可求得答案.

(1)AP=BQ，AP⊥BQ，證明如下：

∵ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，

又∵BP=CQ，

∴△ABP≌△BCQ(SAS)，

∴AP=BQ，∠PAB=∠CBQ，

∵∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=90°，

∴∠PAB+∠ABQ=90°，

∴∠AMB=90°，

∴AP⊥BQ；

(2)∵將△BQC沿BQ所在的直線翻折得到△BQE，

∴∠BQE=∠C=90°，∠QBE=∠QBC，

又∵EQ=EF，

∴BE垂直平分FQ，

∴BF=BQ，

∴∠FBE=∠EBQ，

∵∠FBE+∠EBQ+∠QBC=∠ABC=90°，

∴∠QBC=30°，

∴BQ=2CQ，

在Rt△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2，即(2CQ)2=62+CQ2，

∴CQ=2，

∵BP=CQ，

∴BP=2 .