Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點M從A點出發在線段AB上作勻速運動（不與A、B重合），同時點N從B點出發在線段BC上作勻速運動．

（1）如圖1，若M為AB中點，且DM⊥MN．請在圖中找出兩對相似三角形：

①　 　∽　 　_，②　 　∽　 　，選擇其中一對加以證明；

（2）①如圖2，若AB=5，BC=3點M的速度為1個單位長度/秒，點N的速度為個單位長度/秒，運動的時間為t秒．當t為何值時，△DAM與△MBN相似？請說明理由；

②如果把點N的速度改為a個單位長度/秒，其它條件不變，是否存在a的值，使得△DAM與△MBN和△DCN這兩個三角形都相似？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①當t=時，△DAM∽△MBN；當t=﹣3時，△DAM∽△NBM；②當a=時，△DAM∽△MBN∽△DCN．

【解析】分析：（1）首先可得有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三對相似；然后選擇其中的一對證明即可，注意應用矩形的性質，特別是同角或等角的余角相等的性質的應用；

（2）①如圖2可得AM=t，MB=5﹣t，BN=t（0＜t＜5），然后分兩種情況：（Ⅰ）當∠1=∠3時，△DAM∽△MBN；（Ⅱ）當∠2=∠3時，△DAM∽△NBM去分析根據相似三角形的對應邊成比例，即可得方程，解方程即可求得答案；

②分四種情況去分析：（Ⅰ）當∠1=∠3=∠6時，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，（Ⅱ）當∠1=∠3=∠5時，（Ⅲ）當∠2=∠3=∠6時，（Ⅳ）當∠2=∠3=∠5時，△DAM∽△NBM∽△DCN，根據相似三角形的對應邊成比例列方程求解即可求得答案．

詳解：（1）有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三對相似；

選△DAM∽△MBN，證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴∠ADM=90°﹣∠AMD．∵DM⊥MN，∴∠BMN=180°﹣90°﹣∠AMD=90°﹣∠AMD，∴∠ADM=∠BMD，∴△DAM∽△MBN；

選△DAM∽△DMN，證明：延長NM交DA的延長線于E點，如圖1．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∴∠EAM=∠B=90°．又∵∠AME=∠BMN，AM=BM，∴△AME≌△BMN，∴EM=MN．又∵DM⊥MN，∴DE=DN，∴∠ADM=∠NDM．又∵∠DAM=∠DMN=90°，∴△DAM∽△DMN；

選△DAM∽△MBN，證明：延長MN交DA的延長線于E點，如圖1．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∴∠EAM=∠B=90°．又∵∠AME=∠BMN，AM=BM，∴△AME≌△BMN，∴EM=MN，∠E=∠MNB．又∵DM⊥MN，∴DE=DN，∴∠E=∠DNM，∴∠DNM=∠MNB．又∵∠DMN=∠B=90°，∴△DMN∽△MBN；

（2）①如圖2，AM=t，MB=5﹣t，BN=t（0＜t＜5），分兩種情況：

（Ⅰ）當∠1=∠3時，△DAM∽△MBN，∴，解得：t=。

（Ⅱ）當∠2=∠3時，△DAM∽△NBM，∴，∴AMBN=ADBM，∴t×t=3（5﹣t），解得：t3=﹣3，t4=﹣﹣3（不合題意舍去）。

∴當t=時，△DAM∽△MBN；當t=﹣3時，△DAM∽△NBM．

②分四種情況：（Ⅰ）當∠1=∠3=∠6時，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，由，得：BN=，∴CN=，由，得：CNMB=DCBN，∴﹣（5﹣t）=5﹣，化簡得：t2﹣10t+9=0，解得：t1=1，t2=9（不合題意舍去），a=；

（Ⅱ）當∠1=∠3=∠5時．∵∠5+∠6=90°，∴∠1+∠6=90°，（與已知條件矛盾）， 所以此時不存在．

（Ⅲ）當∠2=∠3=∠6時，方法一：∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠6=90°，（與已知條件矛盾）所以此時不存在．

方法二：由，得：BN=，∴CN=，由，得：CNMB=DCBN，∴（5﹣t）=5﹣，解得：t=5（不合題意舍去），所以此時不存在．

（Ⅳ）當∠2=∠3=∠5時，△DAM∽△NBM∽△DCN，由（Ⅲ）得BN=，∴CN=，由，得：CNNB=DCBM，∴﹣=5（5﹣t），化簡得：5t2﹣18t+45=0方程沒有實數根，所以此時不存在．

綜上所述：當a=時，△DAM∽△MBN∽△DCN．