Question

【題目】如圖，四邊形為一個矩形紙片，，．動點自點出發沿方向運動至點后停止，以直線為軸翻折，點落在點的位置．設，與原紙片重疊部分的面積為．

（1）當為何值時，直線過點；

（2）當為何值時，直線過的中點；

（3）求出與的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）當時，直線過點；（2）當時，直線過的中點；（3）當時，；當時，

【解析】

（1）根據折疊得出AD＝AD1＝2，PD＝PD1＝x，∠D＝∠AD1P＝90°，在Rt△ABC中，根據勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根據勾股定理得出方程，求出即可；
（2）連接PE，求出BE＝CE＝1，在Rt△ABE中，根據勾股定理求出AE，求出AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，D1E＝，PC＝3x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根據勾股定理得出方程，求出即可；
（3）分為兩種情況：當0＜x≤2時，y＝x；當2＜x≤3時，點D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF＝PF，作PG⊥AB于G，設PF＝AF＝a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程(xa)＋2＝a，求出a即可．

（1）由題意得，

∴，，．

∵直線過，

∴．

在中，，．

在，中，，

即，解得，

∴當時，直線過點．

（2）如圖，連接，

∵為的中點，

∴．

在中，．

∵，，

∴，．

在和中，

，解得，

∴當時，直線過的中點．

（3）如圖3，當時，，

如圖4，當時，點在矩形的外部，交于，

∵AB∥CD，

∴．

∵，

∴，

∴．

作于，設，

由題意得，，

在中，，

解得，

∴．

綜合所述，當時，；當時，．