Question

【題目】如圖在平面直角坐標系中，四邊形OABC是菱形，點C的坐標為（3，4），平行于對角線AC的直線m從原點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線m與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t（秒）．

（1）求點B的坐標；

（2）當MN＝AC時，求t的值；

（3）設△OMN的面積為S，求S與t的函數表達式，并確定S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（8，4）；（2）或；（3）；當t＝5時，S最大值＝10．

【解析】

（1）過點C作CH⊥OA于H，由勾股定理求出OC，得出CB，即可得出結果；

（2）分兩種情況：①當0≤t≤5時，由菱形的性質得出OA＝AB＝BC＝OC＝5，OC∥AB．由平行線得出△OMN∽△OAC，得出比例式求出OM即可；

②當5≤t≤10時，設直線MN與OA交于點E．同①可得AM＝．再證出△AEM∽△OAC．得出對應邊成比例求出AM＝AE，得出OE即可；

（3）分兩種情況①當0≤t＜5時，求出△OAC的面積，再由相似三角形的性質得出，即可得出結果；

②當5≤t≤10時，過點M作MT⊥x軸于T，由△BMN∽△AME可知，MT＝（t﹣5），得出S△OMN＝S△ONE﹣S△OME＝ 即可得出結果．

解：（1）過點C作CH⊥OA于H，如圖1所示：

∵C （3，4），

∴CH＝4，OH＝3，

∴

∵四邊形OABC是菱形，

∴CB＝OC＝5，5+3＝8，

∴點B的坐標為（8，4）；

（2）分兩種情況：

①當0≤t≤5時，

如圖2所示：

∵四邊形OABC是菱形，

∴OA＝AB＝BC＝OC＝5，OC∥AB．

∵MN∥AC，

∴△OMN∽△OAC，

∴

∵

∴

∴

②當5≤t≤10時，如圖3所示：

設直線MN與OA交于點E．，同①可得AM＝．

∵OC∥AB，MN∥AC，

∴∠COA＝∠MAE，∠CAO＝∠MEA，

∴△AEM∽△OAC．

∴

∵OC＝OA，

∴AM＝AE，

∴

∴

綜上所述：或

（3）分兩種情況：

①當0≤t＜5時（如圖1），

∵△OMN∽△OAC，

∴，即

∴ （0≤t＜5）；

②當5≤t≤10時，過點M作MT⊥x軸于T，如圖4所示：

由△BMN∽△AME可知，MT＝（t﹣5），

∴S△OMN＝S△ONE﹣S△OME＝

綜上所述：

∴當t＝5時，S最大值＝10．