Question

如圖，△ABC兩個外角（∠CAD、∠ACE）的平分線相交于點P．探索∠P與∠B有怎樣的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和與角平分線的定義表示出∠PAC和∠PCA，再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．

解答：解：由三角形的外角性質，∠DAC=∠B+∠ACB，∠ACE=∠B+∠BAC，
∵PA、PC分別是∠DAC和∠ACE的角平分線，
∴∠PAC=

1

2

∠DAC=

1

2

（∠B+∠ACB），
∠PCA=

1

2

∠ACE=

1

2

（∠B+∠BAC），
在△ACP中，∠P+∠PAC+∠PCA=180°，
∴∠P+

1

2

（∠B+∠ACB）+

1

2

（∠B+∠BAC）=180°，
∴2∠P+∠B+∠ACB+∠B+∠BAC=360°，
在△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180°，
∴2∠P+∠B=180°，
∴∠P=90°-

1

2

∠P．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質與定理并準確識圖是解題的關鍵，整體思想的利用也很關鍵．