Question

【題目】點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB＝|a﹣b|，回答下列問題：

（1）數軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是　 　；

（2）數軸上表示x和﹣1的兩點分別是點A和B，如果AB＝2，那么x＝　 　；

（3）互不相等的有理數a，b，c在數軸上的對應點分別為A，B，C，如果|c﹣a|+|b﹣c|＝|a﹣b|，那么，在點A，B，C中居中的點是　 　．

（4）當|x+2|+|x﹣1|取最小值時，相應的x的取值范圍是　 　．

若|x﹣a|+|x﹣b|的最小值為4，若a＝3，則b的值為　 　．

式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣617|的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）1或﹣3；（3）C；（4）﹣2≤x≤1，7或﹣1，95172．

【解析】

（1）根據數軸上兩點間的距離的表示方法分別解答即可；（2）根據兩點間的距離的表示方法列式，再根據絕對值的性質求解即可；（3）根據|c－a|是A、C間的距離，|b－c|是B、C間的距離，|a－b|是A、B間的距離．即可求解；（4）①當|x＋2|＋|x－1|取最小值時，有，求解即可；②根據線段上的點到線段兩端點的距離的和最小，分為b在a的左側和b在a的右側兩種情況求解；③在數軸上找出表示x的點，使它到表示1，617各點的距離之和最小，代入x的值求和即可.

解：（1）|1﹣（﹣3）|＝4，

故答案為：4；

（2）AB＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|＝2，解得：x＝1，x＝﹣3；

故答案為：1或﹣3；

（3）|c﹣a|是A，C間的距離，|b﹣c|是B，C間的距離，|a﹣b|是A，B間的距離．

∵|a﹣c|+|b﹣c|＝|a﹣b|，

∴點A，B，C中居中的點是點C，

故答案為：C；

（4）①當代數式|x+2|+|x﹣1|取最小值時，相應的x的取值范圍﹣2≤x≤1；

②由線段上的點到線段兩端點的距離的和最小，

當點b在a的右側時，

得P在3點與b點的線段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小為4，

|x﹣3|+|x﹣b|最小＝x﹣3+b﹣x＝4，

解得：b＝7；

當點b在a的左側時，

得P在3點與b點的線段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小為4，

|x﹣3|+|x﹣b|最小＝3﹣x+x﹣b＝4，

解得：b＝﹣1；

③根據絕對值的幾何意義，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣617|的最小值

就是在數軸上找出表示x的點，使它到表示1,2，，617各點的距離之和最小，當x＝309時，原式的值最小，

最小值是308+307+…+1+1+2+…+308＝95172．故答案為：﹣2≤x≤1，7或﹣1，95172．