Question

【題目】【題目】如圖①，一次函數 y＝ x - 2 的圖像交 x 軸于點 A，交 y 軸于點 B，二次函數 y＝ x2 bx c的圖像經過 A、B 兩點，與 x 軸交于另一點 C．

（1）求二次函數的關系式及點 C 的坐標；

（2）如圖②，若點 P 是直線 AB 上方的拋物線上一點，過點 P 作 PD∥x 軸交 AB 于點 D，PE∥y 軸交 AB 于點 E，求 PD＋PE 的最大值；

（3）如圖③，若點 M 在拋物線的對稱軸上，且∠AMB＝∠ACB，求出所有滿足條件的點 M的坐標．

① ② ③

Answer 1

【答案】(1) y＝ , C（1，0）;(2)6;(3) M的坐標為（， ）或（， ）.

【解析】試題分析：（1）先求出A、B的坐標，然后把A、B的坐標分別代入二次函數的解析式，解方程組即可得到結論；

（2）先證明△PDE∽△OAB，得到PD＝2PE．設P（m， ），則E（m， ），PD＋PE＝3PE，然后配方即可得到結論．

（3）分兩種情況討論：①當點M在在直線AB上方時，則點M在△ABC的外接圓上，如圖1．求出圓心O1的坐標和半徑，利用MO1=半徑即可得到結論．

②當點M在在直線AB下方時，作O1關于AB的對稱點O2，如圖2．求出點O2的坐標，算出DM的長，即可得到結論．

試題解析：解：（1）令y＝＝0，得：x＝4，∴A（4，0）．

令x＝0，得：y＝－2，∴B（0，－2）．

∵二次函數y＝的圖像經過A、B兩點，∴，解得： ，

∴二次函數的關系式為y＝．

令y＝＝0，解得：x＝1或x＝4，∴C（1，0）．

（2）∵PD∥x軸，PE∥y軸，∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA，∴△PDE∽△OAB．∴＝＝＝2，∴PD＝2PE．設P（m， ），則E（m， ）．

∴PD＋PE＝3PE＝3×[()－()]＝＝．

∵0＜m＜4，∴當m＝2時，PD＋PE有最大值6．

（3）①當點M在在直線AB上方時，則點M在△ABC的外接圓上，如圖1．

∵△ABC的外接圓O1的圓心在對稱軸上，設圓心O1的坐標為（，－t）．

∴＝，解得：t＝2，∴圓心O1的坐標為（，－2），∴半徑為．

設M（，y）．∵MO1=，∴，解得：y=，∴點M的坐標為（）．

②當點M在在直線AB下方時，作O1關于AB的對稱點O2，如圖2．

∵AO1＝O1B＝，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x軸，∴∠O1BA＝∠OAB，∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x軸上，∴點O2的坐標為 （，0），∴O2D＝1，∴DM＝＝，∴點M的坐標為（， ）．

綜上所述：點M的坐標為（， ）或（， ）．