Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，E為CD邊的中點，將△ADE繞點E順時針旋轉180°，點D的對應點為C，點A的對應點為F，過點E作ME⊥AF交BC于點M，連接AM、BD交于點N，現有下列結論：

①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=ADCM；④點N為△ABM的外心．其中正確的個數為（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】B

【解析】解：∵E為CD邊的中點，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正確；

當AB=BC時，即四邊形ABCD為正方形時，設DE=EC=1，BM=a，則AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，解得a=1.5，即BM=1.5，∴由勾股定理可得AM=2.5，∴DE+BM=2.5=AM，又∵AB＜BC，∴AM=DE+BM不成立，故②錯誤；

∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=ADCM，故③正確；

∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圓的直徑，∵BM＜AD，∴當BM∥AD時， ＜1，∴N不是AM的中點，∴點N不是△ABM的外心，故④錯誤．

綜上所述，正確的結論有2個，故選B．