Question

如圖，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），射線AB與反比例函數(shù)的圖象交于另一點(diǎn)B（1，a），射線AC與y軸交于點(diǎn)C，∠BAC=75°，AD⊥y軸，垂足為D．

（1）求k的值；

（2）求tan∠DAC的值；

（3）求經(jīng)過A，C兩點(diǎn)的直線的解析式．

Answer 1

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得k=2；

（2）作BH⊥AD于H，如圖1，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），則AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判斷△ABH為等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得tan∠DAC=；

（3）由于AD⊥y軸，則OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定義可計(jì)算出CD=2，易得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），于是可根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x﹣1．

【解答】解：（1）把A（2，1）代入y= 得k=2×1=2；

（2）作BH⊥AD于H，如圖，

把B（1，a）代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=得a=2，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），

∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，

∴△ABH為等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∴tan∠DAC=tan30°=；

（3）∵AD⊥y軸，

∴OD=1，AD=2，

∵tan∠DAC==，

∴CD=2，

∴OC=1，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（2，1）、C（0，﹣1）代入y=kx+b得，

解得，

∴直線AC的解析式為y=x﹣1．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；同時(shí)要熟悉三角函數(shù)．