Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，BD為對角線，點P從A出發，沿射線AB運動，連接PD，過點D作DE⊥PD，交直線BC于點E．

（1）探究發現：
當點P在線段AB上時（如圖1），BP+CE=BD；
（2）數學思考：
當點P在線段AB的延長線上時（如圖2），猜想線段BP、CE，BD之間滿足的關系式，并加以證明；
（3）拓展應用：
若直線PE分別交線段BD、CD于點M、N，PM= ，EN= ，直接寫出PD的長．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：CE﹣BP= BD；

理由：∵△PAD≌△ECD，

∴CE=AP，

∴CE﹣BP=AP﹣BP=AB= BD；

（3）解：①當P在線段AB上時，

如圖1所示，在BC上取一點G使得BG=BP，連接MG、NG，

∵△APD≌△CED，

∵AP=CE，PD=ED，

∴△PED是等腰直角三角形，

∴AB=BC=AP+BP=BG+CG，

∴CG=CE，

∴可證△NCG≌△NCE，

∴NG=NE，∠NGC=∠NEC，

∵∠PBM=∠GBM=45°，BP=BG，BM=BM，

∴△BPM≌△BGM

∴PM=GM，∠MGB=∠MPB，

又∠NEC+∠MPB=90°，

∴∠NGC+∠MGB=90°，

∴∠MGN=90°，

∴MN= =2 ，

∴PE=PM+MN+EN= +2 + =3 + ，

∴PD= PE=3+ ；

②當P在AB延長線上時，

如圖2所示，延長CB至G，使得CG=CE，連接MG、NG，

∵AP=CE，

∴CE﹣BC=CG﹣BC=AP﹣AB=BP=BG，

同①可證△△BMG≌△BMP，△CNG≌△CNE，

∴PM=GM，GN=EN，∠BGM=∠BPM=90°+∠CEN=90°+CGN，

∴∠CGN=∠BGM﹣90°=∠BGM﹣∠MGN，

∴∠MGN=90°，

∴MN= =2 ，

∴PN=MN﹣PM=2 ﹣ = ，

∴PE=PN+EN= + ，

∴PD= PE=1+ ，

∴PD的長為3+ 或1+ ．

【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCE=90°，AD=CD，

∵DE⊥PD，

∴∠ADC=∠PDE=90°，

∴∠ADP=90°﹣∠PDC=∠CDE，

在△PAD與△ECD中， ，

∴△PAD≌△ECD

∴AP=CE，

∴BP+CE=BP+AP=AB= BD；

所以答案是： ；

【考點精析】根據題目的已知條件，利用正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．