Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：

“水平底”a：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S=ah．

例如：三點坐標分別為A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．

（1）已知點A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．

①若A，B，P三點的“矩面積”為12，求點P的坐標；

②直接寫出A，B，P三點的“矩面積”的最小值．

（2）已知點E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n， ），其中m＞0，n＞0．

①若E，F，M三點的“矩面積”為8，求m的取值范圍；

②直接寫出E，F，N三點的“矩面積”的最小值及對應n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①點P 的坐標為（0，﹣1）；②A，B，P三點的“矩面積”的最小值為4；

（2）①∴0＜m≤；②E，F，N三點的“矩面積”的最小值為16，此時n的取值范圍為4≤n≤8．

【解析】試題分析：（1）①首先由題意：a=4，然后分別從①當t＞2時，h=t-1，當t＜1時，h=2-t，去分析求解即可求得答案；
②首先根據題意得：h的最小值為：1，繼而求得A，B，P三點的“矩面積”的最小值．
（2）①由E，F，M三點的“矩面積”的最小值為8，可得a=4，h=2，即可得，繼而求得m的取值范圍；

②分別從當n≤4時，a=4，h=，當4＜n＜8時，a=n，h=，，當n≥8時，a=n，h=2，去分析求解即可求得答案；

試題解析：

解：（1）由題意：a=4．

①當t＞2時，h=t﹣1，

則4（t﹣1）=12，可得t=4，故點P的坐標為（0，4）；

當t＜1時，h=2﹣t，

則4（2﹣t）=12，可得t=﹣1，故點P 的坐標為（0，﹣1）；

②∵根據題意得：h的最小值為：1，

∴A，B，P三點的“矩面積”的最小值為4；

（2）①∵E，F，M三點的“矩面積”為8，

∴a=4，h=2，

∴．

∴0≤m≤．

∵m＞0，

∴0＜m≤；

②∵當n≤4時，a=4，h=，此時S=ah=，

∴當n=4時，取最小值，S=16；

當4＜n＜8時，a=n，h=，此時S=ah=16；

當n≥8時，a=n，h=2，此時S=ah=2n，

∴當n=8時，取最小值，S=16；

∴E，F，N三點的“矩面積”的最小值為16，此時n的取值范圍為4≤n≤8．